Πώς μια πόλη με 7 γέφυρες οδήγησε στη δημιουργία ενός κλάδου των μαθηματικών!

Τα γραφήματα υπάρχουν παντού γύρω μας! Χρησιμοποιούνται στα GPS συστήματα, στους χάρτες, στα λειτουργικά συστήματα, στα κοινωνικά δίκτυα και σε πολλές άλλες εφαρμογές. Ακόμα και ο παγκόσμιος ιστός (διαδίκτυο) λειτουργεί με βάση τα γραφήματα, δηλαδή ο τρόπος που συνδέονται οι σελίδες μεταξύ τους. Πρακτικά λοιπόν αποτελούν μεγάλο κομμάτι της ζωής μας.

Τι είναι όμως ένα γράφημα;

Ένα γράφημα είναι ένα σύνολο από κόμβους και γραμμές (ακμές) όπου κάθε γραμμή είναι η σύνδεση μεταξύ δύο κόμβων. Ο βαθμός κάθε κόμβου είναι ο αριθμός των γραμμών που τον συνδέει με άλλους κόμβους.

Πώς ξεκίνησε αυτός ο κλάδος των μαθηματικών;

Όλα ξεκίνησαν από το  Königsberg τον 18^ο αιώνα! Το Königsberg  ήταν μία πολυπολιτισμική πόλη στη σημερινή Ρωσία (τότε γερμανική) χτισμένη στις όχθες του ποταμού Pregel. Αυτό που την έκανε διάσημη είναι οι 7 γέφυρες που συνέδεαν τα δύο νησιά στο εσωτερικό του ποταμού με τις δύο όχθες, καθώς σε όλη αυτήν την περιοχή εκτείνονταν η πόλη. Ο Carl Gottlieb Ehler, ο οποίος υπήρξε και αναγνωρισμένος μαθηματικός της εποχής του και δήμαρχος γειτονικής πόλης, είχε μια παράξενη συνήθεια. Του άρεσε να κάνει το γύρω του Königsberg  περνώντας και από τις 7 γέφυρες. Αυτό του γέννησε και το βασικό ερώτημα: Γιατί δεν υπάρχει κάποιο μονοπάτι που να του επιτρέπει να κάνει το γύρω της πόλης διασχίζοντας όλες τις γέφυρες μία μόνο φορά; Το ερώτημα αυτό έφτασε στο διάσημο μαθηματικό Leonhard Euler ο οποίος (στην αρχή) δεν έδωσε και πολύ σημασία στο δήμαρχο. Έναν μήνα περίπου μετά, όμως, επικοινώνησε μαζί του και του είπε πως ανακάλυψε ένα νέο πεδίο στα Μαθηματικά!

Ουσιαστικά αυτό που έκανε ο Euler ήταν να φτιάξει ένα γράφημα των γεφυρών, τις οποίες απεικόνισε με γραμμές, και των νησιών, τα οποία απεικόνισε με κύκλους και τα ονόμασε κόμβους. Στη συνέχεια, έδωσε στον κάθε κόμβο ένα βαθμό, ο οποίος ήταν ο αριθμός των γραμμών που κατέληγαν σε αυτόν. Παρατήρησε πως οι βαθμοί όλων των κόμβων ήταν περιττοί, οπότε τουλάχιστον μία γέφυρα έπρεπε να διασχιστεί δύο φορές για να γίνει ο γύρος της πόλης περνώντας από όλες τις γέφυρες.

Αν όμως χανόταν μία γέφυρα θα λυνόταν το πρόβλημα! Το θεώρημα που προέκυψε από αυτή την παρατήρηση λέει ότι πρέπει να υπάρχουν ακριβώς δύο κόμβοι περιττού βαθμού για να περάσουμε από όλους τους κόμβους του συστήματος διασχίζοντας όλες τις γραμμές μία μόνο φορά. Οι περιττοί, δε, κόμβοι είναι η αρχή και το τέλος της διαδρομής. Το μονοπάτι αυτό ονομάστηκε Eulerian path και ο κλάδος τότε “The position of geometry”. Αργότερα ονομάστηκε graph theory!

Bonus fact για τους γεωγραφοφίλους:

Το Königsberg βομβαρδίστηκε κατά τη διάρκεια του Β’ Παγκοσμίου πολέμου από σοβιετικές δυνάμεις με αποτέλεσμα η πόλη να καταστραφεί ολοσχερώς. Αργότερα ξαναχτίστηκε και σήμερα, στην ίδια τοποθεσία, βρίσκεται η πόλη Κάλιγκραντ της Ρωσίας.

Πώς σχετίζεται η θεωρία των γραφημάτων με τη Βιολογία;

Μέσα σε ένα κύτταρο ή σε έναν οργανισμό συμβαίνει ένας μεγάλος αριθμός αλληλεπιδράσεων. Οι αλληλεπιδράσεις είναι πολύ σημαντικές καθώς είναι ο τρόπος που επικοινωνούν τα κύτταρα μεταξύ τους. Είναι, επίσης, ένδειξη τόσο της φυσιολογικής λειτουργίας, όσο και της κατάστασης ασθένειας ή της παρέκκλισης από τη φυσιολογική δράση του κυττάρου. Χάρη σε υπολογιστικές και πειραματικές μεθόδους οι πληροφορίες σχετικά με τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των βιομορίων είναι πάρα πολλές. Γι’ αυτό υπάρχει ανάγκη για την οργάνωσή τους, ώστε να μπορούν να μελετηθούν πιο εύκολα. Η θεωρία των γραφημάτων συμβάλει στη δημιουργία διάφορων ειδών δικτύων που περιγράφουν τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μορίων των βιολογικών συστημάτων όπως είναι οι αλληλεπιδράσεις των πρωτεϊνών ή των γονιδίων. Υπάρχουν πολλών ειδών δίκτυα όπως γονιδίων, μεταβολισμού και πρωτεϊνικών αλληλεπιδράσεων.

Συμβολή των δικτύων αυτών στην ανάπτυξη φαρμάκων

Η ύπαρξη αυτών των δικτύων συμβάλλει, μεταξύ άλλων, στην επίπονη διαδικασία ανάπτυξης νέων φαρμάκων και στον προσδιορισμό της δράσης τους. Μελετώντας τις αλληλεπιδράσεις που συμβαίνουν σε ολοκληρωμένα δίκτυα υπάρχει πληρέστερη εικόνα σχετικά με την παθολογία μία κατάστασης και ποια είναι τα μόρια κλειδιά. Έτσι μπορούν να εξαχθούν συμπεράσματα σχετικά με τα μόρια που αποτελούν φαρμακολογικούς στόχους και να δημιουργηθούν νέα φαρμακευτικά σκευάσματα, ενώ, προσδιορίζεται πληρέστερα ο μηχανισμός δράσης του κάθε φαρμάκου. Συνολικά, λοιπόν, δίνουν μία πιο ολοκληρωμένη άποψη όσων αφορά το σύστημα που μελετάται και το ενδιαφέρον στρέφεται στη μεγάλη εικόνα.

Η συγκεκριμένη είναι μία, μόνο, από τις εφαρμογές των δικτύων των βιομορίων, που όπως φαίνεται αποτελούν σημαντικό κομμάτι της σύγχρονης προσέγγισης των βιολογικών συστημάτων.

Πώς μία απλή παρατήρηση άλλαξε το σύγχρονο κόσμο!

Συνοψίζοντας, μια απλή παρατήρηση (της τοπογραφίας μίας πόλης) οδήγησε στη δημιουργία ενός ολόκληρου κλάδου στα μαθηματικά (graph theory), του οποίου οι εφαρμογές (internet, GPS, φάρμακα και πολλά άλλα) έχουν καθορίσει τη ζωή μας και αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της. Not bad για μια πόλη του 19^ου αιώνα που δεν υπάρχει πια!